火箭科学1

今天一口气看完了Umich的 15 节火箭科学公开课，最大的发现还是无论是把人造卫星送入轨道，还是规划行星际航线，其基石依然是我们中学就学过的牛顿三定律、向量、动量和加速度。高深的航天工程，其实就是这些基础原理在极端条件下的极致应用。但光有这些还不够，还要继续深入学习，以下是我想分享的内容：

收获一：火箭方程的基石——齐奥尔科夫斯基公式

课程重点讲解了齐奥尔科夫斯基公式（1903），它是理解火箭如何工作的核心。公式的起点是推力方程：推力 = 质量流率 × 排气速率。

但这只能计算瞬时推力。火箭在飞行中，燃料不断消耗，质量越来越轻，加速度会越来越大。齐奥尔科夫斯基的伟大在于他推导出了描述速度增量（Δv）与质量变化关系的公式：

Δv = ve × ln(mw/ mf)

其中：

Δv是火箭能够达到的速度增量。
ve 是发动机的排气速率（等效排气速度）。
mw 是火箭的初始总质量（包含燃料）。
mf`是火箭的最终质量（燃料耗尽后）。
ln 是自然对数。

这个公式揭示了一个关键的现象：速度增量随燃料增加而缓慢提升（因为是对数关系），但所需燃料质量却随速度增量呈指数级增长。这就是为什么将哪怕很小的一点载荷加速到很高的速度，也需要携带巨量燃料的原因。

收获二：多级火箭的逻辑与实战计算

为什么火箭要做成多级的？两个主要原因：

效率优化：大气层内空气阻力大，需要适合大气层内工作的发动机；真空环境下没有空气阻力，真空优化版发动机的喷管可以设计得更大，排气速率更高，效率显著提升（通常能高 20% 以上）。
减负增效：一级火箭完成任务后分离坠落，二级火箭不必再拖着这个累赘加速，大大提高了后续阶段的效率，而且一级火箭可以回收复用，降低成本。

我来算一个 SpaceX 猎鹰 9 火箭的简化例子：

目标：将 2000kg 的有效载荷送入轨道。

基本设定：

一级火箭（海平面版梅林发动机）：排气速率 ve1 = 2800 m/s
二级火箭（真空版梅林发动机）：排气速率 ve2 = 3400 m/s
为简化计算，我们忽略空气阻力、重力损失，并假设火箭的结构质量（不含燃料和载荷）为燃料质量的 10%。

单级火箭
假设我们拥有与猎鹰 9 一级 + 二级总质量和燃料量相同的单级火箭。
初始总质量 mw假设为 100,000 kg。最终质量mf 是结构质量 + 有效载荷 = (100,000 × 10%) + 2000 = 12,000 kg。代入公式：Δv = 3000 m/s（取平均值） × ln(100,000 / 12,000) ≈ 3000 × 2.12 ≈ 6360 m/s
这个速度不足以进入低地球轨道（通常需要约 9000 m/s）。

两级火箭（猎鹰 9 模式）

第一级：
- 初始质量 m01 = 100,000 kg（包含二级火箭和载荷）
- 燃料耗尽后，分离时的质量 mf1= 第一级干重 + 第二级和载荷的总质量。假设第一级干重为 10,000 kg，那么 mf1 = 10,000 + (第二级初始质量)。
- 经过计算（略去中间质量分配细节），第一级提供的 Δv1大约为 3000 m/s。
第二级：
- 分离后，第二级点火，它的初始质量 m02 就是它自身的总质量（含燃料和 2000kg 载荷）。
- 最终质量 mf2= 第二级干重 + 载荷。
- 第二级使用高效的真空发动机 (ve2 = 3400 m/s)，计算可得其提供的 Δv2大约为 5500 m/s。
总速度增量：Δv= Δv1 + Δv2 ≈ 3000 + 5500 = 8500 m/s。这个结果已经非常接近入轨所需速度。

通过对比可以看出，在总质量和使用燃料量相近的情况下，两级火箭能获得高得多的最终速度，这就是分级设计的巨大优势。

那为什么不分更多级？
因为收益递减。每增加一级，虽然能进一步提升速度，但也会带来额外的发动机、分离机构、贮箱等“死重”。对于像猎鹰 9 这样的火箭，其二级已经足够将载荷送入预定轨道，再增加第三级所带来的速度增益，可能还抵不上新增结构带来的质量负担。从成本和工程角度看，SpaceX 通过一级 9 台、二级 1 台同系列梅林发动机的标准化设计，完美平衡了性能与成本。专门为小规模的三级火箭研发一款全新的、更小的发动机，从头开始设计图纸，外加单开一条生产线，投入产出比实在太低。

收获三：开普勒定律的微积分推导

课程最后精彩地重现了开普勒如何利用第谷的观测数据，并结合牛顿的万有引力定律和微积分，推导出行星运动三定律。轨道是椭圆（第一定律）和周期与半长轴的关系（第三定律）其实都可以从牛顿万有引力公式（F = GMm/r²）和运动方程出发比较容易的推导。

主要介绍一下面积速度守恒（第二定律）的推推导：这其实是角动量守恒的体现。因为万有引力是径向的（始终指向恒星），不产生力矩，所以行星的角动量 L = m * r * v（垂直于径矢的速度分量）守恒。在极坐标下进行推导，dA/dt = (1/2) * r² * (dθ/dt) = L / (2m)，是一个常数。这就严格证明了单位时间扫过的面积相等。

看来微积分还是有点用的